Inverse heat transport problems for coefficients in two‐layer domains and methods for their solution

Abstract

In various fields of science and technology it is often necessary to solve inverse problems, where from measurements of state of the system or process it is required to determine a certain typesetting of the causal characteristics. It is known that infringement of the natural causal relationships can entail incorrectness of the mathematical stating of inverse problems. Therefore the development of efficient methods for solving such problems allows one to considerably simplify experimental research and to increase the accuracy and reliability of the obtained results due to certain complication of algorithms for processing the experimental data. The problem of determination of thermal diffusivity coefficients considering other known characteristics of heat transport process is among incorrect inverse problems. These inverse problems for coefficients are quite difficult even in the case of homogeneous media. In this paper it is supposed that the heat transport equation is non‐homogeneous and an algorithm for determination of the thermal diffusivity coefficients for both the media is proposed. At the first step, the non‐homogeneous inverse problem with piecewise‐constant function of non‐homogeneity is solved. For this auxiliary inverse problem, the proposed method allows one to determine both the coefficients of thermal diffusivity and to restore the heat transport process without any additional information, i.e. the algorithm also solves the direct problem. Then the initial non‐homogeneous inverse problem with a piecewise‐continuous function of non‐homogeneity is solved. The proposed method reduces the non‐homogeneous inverse problem for coefficients to a set of two transcendent algebraic equations. Finally, the analytical solution to direct problem is obtained using Green's function.

Atvirkštiniai šilumos laidumo  uždaviniai dvisluoksnėse srityse ir jų sprendimo metodai

Santrauka. Įvairiose mokslo ir technologijos srityse dažnai tenka spręsti atvirkštinius uždavinius, kada remiantis sistemos ar proceso būsenos parametrų matavimais reikia nustatyti priežastines charakteristikas. Yra žinoma, kad natūralių priežastinių priklausomybių nepaisymas gali nulemti neteisinga atvirkštinio uždavinio matematinę formuluotę. Todėl efektyvūs tokių uždavinių sprendimo metodai leis žymiai supaprastinti eksperimentinius tyrimus, padidinti gaunamų rezultatų tikslumą ir patikimumą, jeigu bus pritaikyti tam tikri sudėtingesni eksperimentinių rezultatų apdorojimo būdai. Difuzijos koeficientų nustatymas naudojant kitas žinomas šilumos laidumo proceso charakteristikas priklauso nekorektiškų uždavinių kategorijai. Atvirkštiniai uždaviniai koeficientams yra sudėtingi net ir homogeninėse terpėse. Šiame darbe daroma prielaida, kad terpe nehomogeniška, ir pasiūlytas algoritmas difuzijos koeficientų nustatymui tokiu atveju. Pirmajame etape sumažinamas nehomogeninis atvirkštinis uždavinys, laikant, kad nehomogeniškumas aprašomas dalimis pastoviomis funkcijomis. Šiam pagalbiniam atvirkštiniam uždaviniui siūlomas metodas leidžia apibrėžti abu šilumos difuzijos koeficientus ir atkurti šilumos laidumo proceso eiga be papildomos informacijos, t. y., algoritmas sprendžia taip pat ir tiesioginį uždavinį. Po to yra sprendžiamas atvirkštinis pradinis uždavinys esant dalimis tolydžiai nehomogeniškumą aprašančiai funkcijai. Siūlomas metodas redukuoja nehomogeninį atvirkštinį uždavinį į dviejų transcendentinių lygčių sprendimą. Taip pat yra gautas tiesioginio uždavinio analizinis sprendinys, taikant Gryno formulę.

First Published Online: 14 Oct 2010

Keyword : inverse problems, heat transport, multi‐layered domains